Нумарацыя старонак у OpenOffice Writer. кароткае кіраўніцтва

Уменне вырашаць сістэмы раўнанняў часта можа прынесці карысць не толькі ў вучобе, але і на практыцы. У той жа час, далёка не кожны карыстальнік ПК ведае, што ў Эксэля існуе ўласныя варыянты рашэнняў лінейных раўнанняў. Давайце даведаемся, як з ужываннем інструментара гэтага таблічнага працэсара выканаць дадзеную задачу рознымі спосабамі.

варыянты рашэнняў

Любое раўнанне можа лічыцца вырашаным толькі тады, калі будуць адшуканыя яго карані. У праграме Excel існуе некалькі варыянтаў пошуку каранёў. Давайце разгледзім кожны з іх.

Спосаб 1: матрычны метад

Самы распаўсюджаны спосаб рашэння сістэмы лінейных раўнанняў інструментамі Excel - гэта прымяненне матрычнага метаду. Ён заключаецца ў пабудове матрыцы з каэфіцыентаў выразаў, а затым у стварэнні зваротнай матрыцы. Паспрабуем выкарыстаць дадзены метад для вырашэння наступнай сістэмы раўнанняў:


14x1+2x2+8x4=218
7x1-3x2+5x3+12x4=213
5x1+x2-2x3+4x4=83
6x1+2x2+x3-3x4=21

  1. Запаўняем матрыцу лікамі, якія з'яўляюцца каэфіцыентамі ўраўненні. Дадзеныя колькасці павінны размяшчацца паслядоўна па парадку з улікам размяшчэння кожнага кораня, якому яны адпавядаюць. Калі ў якім-то выразе адзін з каранёў адсутнічае, то ў гэтым выпадку каэфіцыент лічыцца роўным нулю. Калі каэфіцыент не пазначаны ў раўнанні, але адпаведны корань маецца, то лічыцца, што каэфіцыент роўны 1. Пазначаем атрыманую табліцу, як вектар A.
  2. Асобна запісваем значэння пасля знака "роўна". Пазначаем іх агульным найменнем, як вектар B.
  3. Зараз для знаходжання каранёў ўраўненні, перш за ўсё, нам трэба адшукаць матрыцу, зваротную існуючай. На шчасце, у Эксэля маецца спецыяльны аператар, які прызначаны для вырашэння гэтай задачы. завецца ён МОБР. Ён мае даволі просты сінтаксіс:

    = МОБР (масіў)

    аргумент "Масіў" - гэта, уласна, адрас зыходнай табліцы.

    Такім чынам, вылучаем на лісце вобласць пустых вочак, якая па памеры роўная дыяпазону зыходнай матрыцы. Пстрыкаем па кнопцы "Уставіць функцыю", Размешчаную каля радкі формул.

  4. выконваецца запуск майстры функцый. Пераходзім у катэгорыю "Матэматычныя". У прадставіўся спісе шукаем найменне "МОБР". Пасля таго, як яно знойдзена, вылучаем яго і ціснем на кнопку "OK".
  5. Запускаецца акно аргументаў функцыі МОБР. Яно па ліку аргументаў мае ўсяго адно поле - "Масіў". Тут трэба пазначыць адрас нашай табліцы. Для гэтых мэтаў усталёўваем курсор у гэтае поле. Затым зацісканы левую кнопку мышы і вылучаем вобласць на лісце, у якой знаходзіцца матрыца. Як бачым, дадзеныя аб каардынатах размяшчэння аўтаматычна заносяцца ў поле вокны. Пасля таго, як гэтая задача выканана, найбольш відавочным было б націснуць на кнопку "OK", Але не варта спяшацца. Справа ў тым, што націск на гэтую кнопку з'яўляецца раўназначным прымяненню каманды Enter. Але пры працы з масівамі пасля завяршэння ўводу формулы варта не клікаць па кнопцы Enter, А вырабіць набор спалучэння клавіш Ctrl + Shift + Enter. Выконваем гэтую аперацыю.
  6. Такім чынам, пасля гэтага праграма вырабляе вылічэнні і на выхадзе ў папярэдне вылучанай вобласці мы маем матрыцу, зваротную дадзенай.
  7. Цяпер нам трэба будзе памножыць зваротную матрыцу на матрыцу B, Якая складаецца з аднаго слупка значэнняў, размешчаных пасля знака "Роўна" ў выразах. Для множання табліц у Эксэля таксама маецца асобная функцыя, якая называецца МУМНОЖ. Дадзены аператар мае наступны сінтаксіс:

    = МУМНОЖ (Массив1; Массив2)

    Вылучаем дыяпазон, у нашым выпадку які складаецца з чатырох вочак. Далей ізноў запускаем майстар функцый, Націснуўшы значок "Уставіць функцыю".

  8. У катэгорыі "Матэматычныя", якія запусцілі майстры функцый, Вылучаем найменне "МУМНОЖ" і ціснем на кнопку "OK".
  9. Актывуецца акно аргументаў функцыі МУМНОЖ. У полі "Массив1" заносім каардынаты нашага зваротнай матрыцы. Для гэтага, як і ў мінулы раз, усталёўваем курсор у поле і з заціснутай левай кнопкай мышы вылучаем курсорам адпаведную табліцу. Аналагічнае дзеянне праводзім для ўнясення каардынатаў ў полі "Массив2", Толькі на гэты раз вылучаем значэння калонкі B. Пасля таго, як вышэйпаказаныя дзеянні праведзены, зноў не спяшаемся жаць на кнопку "OK" або клавішу Enter, А набіраем камбінацыю клавіш Ctrl + Shift + Enter.
  10. Пасля дадзенага дзеяння ў папярэдне выдзеленай вочку адлюструюцца карані ўраўненні: X1, X2, X3 і X4. Яны будуць размешчаны паслядоўна. Такім чынам, можна сказаць, што мы вырашылі дадзеную сістэму. Для таго, каб праверыць правільнасць рашэння досыць падставіць ў зыходную сістэму выразаў дадзеныя адказы замест адпаведных каранёў. Калі роўнасць будзе выканана, то гэта азначае, што прадстаўленая сістэма раўнанняў вырашана дакладна.

Урок: Зваротная матрыца ў Excel

Спосаб 2: падбор параметраў

Другі вядомы спосаб рашэння сістэмы раўнанняў у Эксэля - гэта прымяненне метаду падбору параметраў. Сутнасць дадзенага метаду заключаецца ў пошуку ад адваротнага. Гэта значыць, грунтуючыся на вядомым выніку, мы вырабляем пошук невядомага аргументу. Давайце для прыкладу выкарыстоўваем квадратнае раўнанне

3x ^ 2 + 4x-132 = 0

  1. прымаем значэнне x за роўнае 0. Вылічваем адпаведнае для яго значэнне f (x), Ужыўшы наступную формулу:

    = 3 * x ^ 2 + 4 * x-132

    замест значэння "X" падстаўляем адрас той ячэйкі, дзе размешчана лік 0, Прынятая намі за x.

  2. Пераходзім ва ўкладку "Дадзеныя". Ціснем на кнопку "Аналіз" што калі ". Гэтая кнопка размешчана на стужцы ў блоку інструментаў "Праца з дадзенымі". Адкрываецца выпадальны спіс. Выбіраем у ім пазіцыю "Падбор параметру ...".
  3. Запускаецца акно падбору параметраў. Як бачым, яно складаецца з трох палёў. У полі "Ўсталяваць у вочку" паказваем адрас ячэйкі, у якой знаходзіцца формула f (x), Разлічаная намі ледзь раней. У полі "Значэнне" ўводзім лік "0". У полі "Змяняючы значэння" паказваем адрас ячэйкі, у якой размешчана значэнне x, Раней прынятае намі за 0. Пасля выканання дадзеных дзеянняў ціснем на кнопку "OK".
  4. Пасля гэтага Эксэля вырабіць вылічэнне з дапамогай падбору параметру. Пра гэта паведаміць якое з'явілася інфармацыйнае акно. У ім варта націснуць на кнопку "OK".
  5. Вынік вылічэнні кораня раўнання будзе знаходзіцца ў той вочку, якую мы прызначылі ў поле "Змяняючы значэння". У нашым выпадку, як бачым, x будзе роўны 6.

Гэты вынік таксама можна праверыць, падставіўшы дадзенае значэнне ў вырашальным выраз замест значэння x.

Урок: Падбор параметру ў Excel

Спосаб 3: метад Крамера

Зараз паспрабуем вырашыць сістэму раўнанняў метадам Крамера. Для прыкладу возьмем усё тую ж сістэму, якую выкарыстоўвалі ў спосабе 1:


14x1+2x2+8x4=218
7x1-3x2+5x3+12x4=213
5x1+x2-2x3+4x4=83
6x1+2x2+x3-3x4=21

  1. Як і ў першым спосабе, складаем матрыцу A з каэфіцыентаў раўнанняў і табліцу B са значэнняў, якія стаяць пасля знака "Роўна".
  2. Далей робім яшчэ чатыры табліцы. Кожная з іх з'яўляецца копіяй матрыцы A, Толькі ў гэтых копій па чарзе адзін слупок заменены на табліцу B. У першай табліцы - гэта першы слупок, у другой табліцы - другі і г.д.
  3. Цяпер нам трэба вылічыць вызначальнікі для ўсіх гэтых табліц. Сістэма раўнанняў будзе мець рашэння толькі ў тым выпадку, калі ўсе вызначальнікі будуць мець значэнне, адрозны ад нуля. Для разліку гэтага значэння ў Эксэля зноў маецца асобная функцыя - МОПРЕД. Сінтаксіс дадзенага аператара наступны:

    = МОПРЕД (масіў)

    Такім чынам, як і ў функцыі МОБР, Адзіным аргументам выступае спасылка на апрацоўваную табліцу.

    Такім чынам, вылучаем вочка, у якой будзе выводзіцца вызначальнік першай матрыцы. Затым ціснем на знаёмую па папярэднім спосабам кнопку "Уставіць функцыю".

  4. актывуецца акно майстры функцый. Пераходзім у катэгорыю "Матэматычныя" і сярод спісу аператараў вылучаем там найменне "МОПРЕД". Пасля гэтага ціснем на кнопку "OK".
  5. Запускаецца акно аргументаў функцыі МОПРЕД. Як бачым, яно мае толькі адно поле - "Масіў". У гэта поле ўпісваем адрас першай ператворанай матрыцы. Для гэтага ўсталёўваны курсор у полі, а затым вылучаем матрычны дыяпазон. Пасля гэтага ціснем на кнопку "OK". Дадзеная функцыя выводзіць вынік у адну вочка, а не масівам, таму для атрымання разліку не трэба звяртацца да націску камбінацыі клавіш Ctrl + Shift + Enter.
  6. Функцыя вырабляе падлік выніку і выводзіць яго ў загадзя выдзеленую вочка. Як бачым, у нашым выпадку вызначальнік роўны -740, Гэта значыць, не з'яўляецца роўным нулю, што нам падыходзіць.
  7. Аналагічным чынам вырабляем падлік вызначальнікаў для астатніх трох табліц.
  8. На завяршальным этапе вырабляем падлік вызначальніка першаснай матрыцы. Працэдура адбываецца ўсё па тым жа алгарытме. Як бачым, вызначальнік першаснай табліцы таксама выдатны ад нуля, а значыць, матрыца лічыцца незвыроднае, гэта значыць, сістэма раўнанняў мае рашэння.
  9. Цяпер пара знайсці карані ўраўненні. Корань раўнання будзе роўны стаўленню вызначальніка адпаведнай ператворанай матрыцы на вызначальнік першаснай табліцы. Такім чынам, падзяліўшы па чарзе ўсе чатыры вызначальніка пераўтвораных матрыц на лік -148, Якое з'яўляецца вызначальнікам першапачатковай табліцы, мы атрымаем чатыры кораня. Як бачым, яны роўныя значэнняў 5, 14, 8 і 15. Такім чынам, яны ў дакладнасці супадаюць з каранямі, якія мы знайшлі, выкарыстоўваючы зваротную матрыцу ў спосабе 1, Што пацвярджае правільнасць рашэння сістэмы раўнанняў.

Спосаб 4: метад Гаўса

Вырашыць сістэму раўнанняў можна таксама, ужыўшы метад Гаўса. Для прыкладу возьмем больш простую сістэму раўнанняў з трох невядомых:


14x1+2x2+8x3=110
7x1-3x2+5x3=32
5x1+x2-2x3=17

  1. Зноў паслядоўна запісваем каэфіцыенты ў табліцу A, А свабодныя члены, размешчаныя пасля знака "Роўна" - у табліцу B. Але на гэты раз зблізім абедзве табліцы, так як гэта спатрэбіцца нам для працы ў далейшым. Важным умовай з'яўляецца тое, каб у першай вочку матрыцы A значэнне было выдатным ад нуля. У адваротным выпадку варта пераставіць радкі месцамі.
  2. Капіюем першы радок двух злучаных матрыц у радок ніжэй (для нагляднасці можна прапусціць адну радок). У першую вочка, якая размешчана ў радку яшчэ ніжэй папярэдняй, уводны наступную формулу:

    = B8: E8- $ B $ 7: $ E $ 7 * (B8 / $ B $ 7)

    Калі вы размясцілі матрыцы па-іншаму, то і адрасы вочак формулы ў вас будуць мець іншае значэнне, але вы зможаце вылічыць іх, супаставіўшы з тымі формуламі і малюнкамі, якія прыводзяцца тут.

    Пасля таго, як формула ўведзена, вылучыце ўвесь шэраг вочак і націсніце камбінацыю клавіш Ctrl + Shift + Enter. Да шэрагу будзе прымененая формула масіва і ён будзе запоўнены значэннямі. Такім чынам мы вырабілі адніманне з другога радка першай, памножанай на стаўленне першых каэфіцыентаў двух першых выразаў сістэмы.

  3. Пасля гэтага капіюем атрыманую радок і вставляем яе ў радок ніжэй.
  4. Вылучаем дзве першыя радкі пасля прапушчанай радкі. Ціснем на кнопку "Капіяваць", Якая размешчана на стужцы ва ўкладцы "Галоўная".
  5. Прапускаем радок пасля апошняй запісу на лісце. Вылучаем першую вочка ў наступным радку. Клікаем правай кнопкай мышы. У якое адкрылася кантэкстным меню наводзім курсор на пункт "Спецыяльная ўстаўка". У запусцім дадатковым спісе выбіраем пазіцыю "Значэнні".
  6. У наступны радок уводны формулу масіва. У ёй вырабляецца адніманне з трэцяга радка папярэдняй групы дадзеных другога радка, памножанай на стаўленне другога каэфіцыента трэцяй i другога радка. У нашым выпадку формула будзе мець наступны выгляд:

    = B13: E13- $ B $ 12: $ E $ 12 * (C13 / $ C $ 12)

    Пасля ўводу формулы вылучаем ўвесь шэраг і ўжываем спалучэнне клавіш Ctrl + Shift + Enter.

  7. Зараз варта выканаць зваротную прагонку па метадзе Гаўса. Прапускаем тры радкі ад апошняй запісу. У чацвёртай радку ўводзім формулу масіва:

    = B17: E17 / D17

    Такім чынам, мы дзелім апошнюю разлічаную намі радок на яе ж трэці каэфіцыент. Пасля таго, як набралі формулу, вылучаем ўсю радок і ціснем спалучэнне клавіш Ctrl + Shift + Enter.

  8. Паднімаемся на радок уверх і ўводзім у яе наступную формулу масіва:

    = (B16: E16-B21: E21 * D16) / C16

    Ціснем звыклае ўжо нам спалучэнне клавіш для прымянення формулы масіва.

  9. Паднімаемся яшчэ на адзін радок вышэй. У яе ўводзім формулу масіва наступнага выгляду:

    = (B15: E15-B20: E20 * C15-B21: E21 * D15) / B15

    Зноў вылучаем ўсю радок і ўжываем спалучэнне клавіш Ctrl + Shift + Enter.

  10. Цяпер глядзім на колькасці, якія атрымаліся ў апошнім слупку апошняга блока радкоў, разлічанага намі раней. Менавіта гэтыя лікі (4, 7 і 5) Будуць з'яўляцца каранямі дадзенай сістэмы раўнанняў. Праверыць гэта можна, падставіўшы іх замест значэнняў X1, X2 і X3 у выразы.

Як бачым, у Эксэля сістэму раўнанняў можна вырашыць цэлым шэрагам спосабаў, кожны з якіх мае ўласныя перавагі і недахопы. Але ўсе гэтыя метады можна ўмоўна падзяліць на дзве вялікія групы: матрычныя і з ужываннем інструмента падбору параметраў. У некаторых выпадках не заўсёды матрычныя метады падыходзяць для вырашэння задачы. У прыватнасці тады, калі вызначальнік матрыцы роўны нулю. У астатніх жа выпадках карыстальнік сам вольны вырашаць, які варыянт ён лічыць больш зручным для сябе.

Глядзіце відэа: Quick Start Guide OC:18 (Кастрычніка 2019).